Mantık ve metalojik
Bir anlamda mantık, birinci düzenin yüklem hesabı ile, değişkenlerin sabit bir alandaki bireylerle sınırlı olduğu hesapla tanımlanmalıdır - yine de “=” sembolize edilmiş kimlik mantığını da içerebilir; kimliğin sıradan özelliklerini mantığın bir parçası olarak alır. Bu anlamda Gottlob Frege, 1879 gibi erken bir tarihte resmi bir mantık hesaplaması elde etti. Ancak mantık, tahminler (veya sınıflar ve ilişkiler gibi değişkenler gibi daha yüksek tipteki değişkenleri kabul eden daha yüksek dereceli yüklem hesaplarını da içerdiği için yorumlanır.) ve bunun gibi. Fakat o zaman küme teorisinin dahil edilmesi için küçük bir adımdır ve aslında aksiyomatik küme teorisi genellikle mantığın bir parçası olarak kabul edilir. Ancak bu makalenin amaçları açısından, tartışmayı ilk mantıkla mantıkla sınırlamak daha uygundur.
Mantıktaki önemli bulguları metalojik olanlardan ayırmak zordur, çünkü mantıkçıların tüm ilgi teoremleri mantıkla ilgilidir ve bu nedenle de metalojiktir. Eğer p matematiksel bir teorem ise - özellikle mantıkla ilgili bir - ve P, p'yi kanıtlamak için kullanılan matematiksel aksiyomların birleşimiyse, her p, mantıkta bir “P veya p değil” teoremine dönüştürülebilir. Bununla birlikte, matematik mantıkta biçimselleştirilen tüm adımları açıkça uygulayarak yapılmaz; aksiyomların seçimi ve sezgisel kavrayışı hem matematik hem de metamatematik için önemlidir. Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell tarafından I. Dünya Savaşı'ndan hemen önce yapılanlar gibi mantıktaki gerçek türevler, mantıkçıların ilgisini çekmez. Dolayısıyla metalotik terimini tanıtmak gereksiz görünebilir. Bununla birlikte, bu sınıflandırmada, metalojik, sadece mantıksal hesap ile ilgili bulgularla değil, aynı zamanda genel olarak biçimsel sistemlerin ve biçimsel dillerle ilgili çalışmalarla da ilgilenmektedir.
Sıradan bir biçimsel sistem mantıksal bir hesaplamadan farklıdır, zira sistemin genellikle amaçlanan bir yorumu vardır, oysa mantıksal hesaplama olası yorumları kasıtlı olarak açık bırakır. Böylece, örneğin, biçimsel bir sistemdeki cümlelerin gerçeği veya sahteliği hakkında konuşulur, ancak mantıklı bir hesaplama ile ilgili olarak, geçerlilikten (yani, tüm yorumlarda veya tüm olası dünyalarda doğru olmaktan) ve tatmin edilebilirlikten (veya bir modele sahip olmak, yani bazı belirli yorumlarda doğru olmak). Bu nedenle, mantıksal bir analizin bütünlüğünün resmi bir sisteminkinden oldukça farklı bir anlamı vardır: mantıksal bir analiz, ne cümlenin ne de olumsuzluğunun bir teorem olmaması nedeniyle birçok cümleye izin verir, çünkü bazı yorumlarda doğrudur ve bazılarında yanlıştır ve sadece geçerli her cümlenin bir teorem olmasını gerektirir.
