Matematikte Sturm-Liouville problemi veya özdeğer problemi, çözümlerde sınır değerleri olarak bilinen ekstra kısıtlamalara tabi olan belirli bir kısmi diferansiyel denklem sınıfı (PDE). Bu tür denklemler, ilgilenilen sistem bir tür enerji iletirken bir miktar dış değerin (sınır değeri) sabit tutulduğu süreçleri tanımlamak için hem klasik fizikte (örneğin termal iletim) hem de kuantum mekaniğinde (örn. Schrödinger denklemi) yaygındır.
1830'ların ortalarında, Fransız matematikçiler Charles-François Sturm ve Joseph Liouville, metal çubuktan ısı iletimi sorunu üzerinde bağımsız olarak, en basit şekli olan büyük bir PDE sınıfını çözmek için teknik geliştirme sürecinde [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 burada y bir miktar fiziksel nicelik (veya kuantum mekanik dalga fonksiyonu) ve λ, denklemi sınırlayan bir parametre veya özdeğer bu y, x değişkeninin üzerinde bulunduğu aralığın uç noktalarındaki sınır değerlerini karşılar. P, q ve r fonksiyonları uygun koşulları karşılıyorsa, denklem özdeğer çözümlerine karşılık gelen özfonksiyonlar adı verilen bir çözüm ailesine sahip olacaktır.
Yukarıdaki denklemin sağ tarafının bir fonksiyon olduğu daha karmaşık homojen olmayan durum için, f (x), sıfırdan ziyade, karşılık gelen homojen denklemin özdeğerleri orijinal denklemin özdeğerleriyle karşılaştırılabilir. Bu değerler farklıysa, sorunun kendine özgü bir çözümü olacaktır. Öte yandan, bu özdeğerlerden biri eşleşirse, f (x) fonksiyonunun özelliklerine bağlı olarak, sorunun ya çözümü ya da bütün bir çözüm ailesi olacaktır.
