Analiz tarihi
Yunanlılar sürekli büyüklüklerle karşılaşıyor
Analiz, matematiğin sürekli değişimin önemli olduğu kısımlarından oluşur. Bunlar hareket ve pürüzsüz eğrilerin ve yüzeylerin geometrisini - özellikle teğetlerin, alanların ve hacimlerin hesaplanmasını içerir. Eski Yunan matematikçileri analiz teorisi ve pratiğinde büyük ilerlemeler kaydetti. Teori, Pitagor'un irrasyonel büyüklüklerin keşfi tarafından yaklaşık MÖ 500 ve Zeno'nun hareket paradoksları tarafından yaklaşık MÖ 450 hakkında zorlandı.
Pisagorlular ve irrasyonel sayılar
Başlangıçta, Pisagorlular her şeyin ayrı doğal sayılarla ölçülebileceğine inanıyordu (1, 2, 3,
) ve bunların oranları (sıradan kesirler veya rasyonel sayılar). Bununla birlikte, bu inanç, birim karenin (yani kenarları 1 uzunluğu olan bir karenin) köşegeninin rasyonel bir sayı olarak ifade edilemeyeceği keşfiyle sarsıldı. Bu keşif, sağ üçgenin hipotenüsündeki karenin diğer iki taraftaki karelerin toplamına eşit olduğunu belirleyen kendi Pisagor teoremi tarafından gerçekleştirildi - modern gösterimde c 2 = a 2 + b 2. Birim karede, köşegen sağ üçgenin hipotenüsüdür ve kenarları a = b = 1; dolayısıyla ölçüsü irrasyonel bir sayı olan root2'nin kareköküdür. Pisagorlular kendi niyetlerine karşı, rasyonel sayıların basit geometrik nesneleri bile ölçmek için yeterli olmadığını göstermişlerdi. (Bkz. Kenar Çubuğu: Ölçülemez.) Tepkileri, rasyonel sayıların geometrik bir yorumunu içeren Öklid Elemanları Kitap II'de (c. 300 bce) bulunan çizgi parçalarının aritmetiğini oluşturmaktı. Yunanlılar için çizgi segmentleri sayılardan daha geneldi, çünkü sürekli ve ayrı büyüklükleri içeriyordu.
Gerçekten, Square2'nin karekökü rasyonel sayılarla ancak sonsuz bir süreçle ilişkilendirilebilir. Bu, hem rasyonel sayılar hem de çizgi segmentlerinin aritmetiğini inceleyen Öklid tarafından gerçekleştirildi. Ünlü Öklid algoritması, bir çift doğal sayıya uygulandığında, en büyük ortak bölenlerine sınırlı sayıda adım atmaktadır. Bununla birlikte, and2 ve 1'in karekökü gibi irrasyonel bir orana sahip bir çift çizgi parçasına uygulandığında, sonlanamaz. Öklid bile bu sonlandırma özelliğini mantıksızlık için bir kriter olarak kullandı. Bu nedenle, irrasyonalite, sayıları sonsuz süreçlerle başa çıkmaya zorlayarak Yunan sayı kavramına meydan okudu.
Zeno'nun paradoksları ve hareket kavramı
Nasıl Square2'nin karekökü Yunanlıların sayı kavramına meydan okuyorsa, Zeno'nun paradoksları da hareket kavramlarına meydan okuyordu. Fizikinde (yaklaşık 350 mi) Aristoteles, Zeno'dan şöyle dedi:
Hareket yoktur çünkü taşınan hareket, sonuna gelmeden önce [parkurun] ortasına gelmelidir.
Zeno'nun argümanları sadece onları çoğunlukla çürütmek için alıntı yapan Aristoteles aracılığıyla bilinir. Muhtemelen Zeno, bir yere varmak için önce yolun dörtte birinden önce ve yolun dörtte birinden önce ve yolun sekizde birinden önce gitmek zorunda olduğu anlamına geliyordu. Mesafelerin yarıya indirilmesi süreci sonsuza kadar devam edeceğinden (Yunanlıların mümkün olduğu kadar kabul etmeyecek bir kavram), Zeno gerçekliğin değişmez varlıktan oluştuğunu “kanıtladığını” iddia etti. Yine de, sonsuzluktan nefret etmelerine rağmen, Yunanlılar kavramın sürekli büyüklüklerin matematiğinde vazgeçilmez olduğunu keşfettiler. Böylece sonsuzluğu, oranlar teorisi ve tükenme yöntemini kullanarak mantıklı bir çerçevede olabildiğince sonlu düşüntüler.
Oranlar teorisi Eudoxus tarafından yaklaşık 350 civarında yaratıldı ve Euclid's Elements'in V. Kitabında korunuyordu. Rasyonel büyüklükler ile keyfi büyüklükler arasında kesin olarak, iki büyüklükleri onlardan küçük olan rasyonel büyüklükler aynıysa eşit olacak şekilde tanımlayarak kesin bir ilişki kurmuştur. Başka bir deyişle, iki büyüklük yalnızca aralarında kesinlikle rasyonel bir büyüklük varsa farklıydı. Bu tanım, iki bin yıl boyunca matematikçilere hizmet etti ve 19. yüzyılda analizin aritmetizasyonunun yolunu açtı, burada rasgele sayılar rasyonel sayılar açısından titizlikle tanımlandı. Oranlar teorisi, modern analizin özünü oluşturan bir fikir olan sınır kavramının ilk titiz muamelesiydi. Modern terimlerle, Eudoxus teorisi keyfi büyüklükleri rasyonel büyüklüklerin sınırları olarak tanımladı ve büyüklüklerin toplamı, farkı ve ürünü hakkındaki temel teoremler, sınırların toplamı, farkı ve ürünü hakkındaki teoremlere eşdeğerdi.
