Kategori teorisi
Matematikte soyutlama
Matematiğin gelişimindeki yeni bir eğilim, kademeli soyutlama süreci olmuştur. Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel (1802-29), beşinci derecedeki denklemlerin genel olarak radikaller tarafından çözülemediğini kanıtladı. Kısmen Abel'in çalışmasıyla motive olan Fransız matematikçi Évariste Galois (1811-32), bir polinom denkleminin çözülebilir olması için gerekli koşulları belirlemek için belirli permütasyon gruplarını tanıttı. Bu somut gruplar kısa süre sonra aksiyomatik olarak tarif edilen soyut gruplara yol açtı. Daha sonra grupları incelemek için farklı gruplar arasındaki ilişkiye, özellikle de grup operasyonlarını korurken bir grubu diğerine eşleyen homomorfizmlere bakmanın gerekli olduğu anlaşıldı. Böylece insanlar, şu anda nesneleri grup olan ve okları homomorfizm olan grupların somut kategorisi olarak adlandırılanları incelemeye başladılar. Somut kategorilerin, yine aksiyomatik olarak tarif edilen soyut kategorilerle yer değiştirmesi uzun sürmedi.
Bir kategorinin önemli nosyonu II. Dünya Savaşı'nın sonunda Samuel Eilenberg ve Saunders Mac Lane tarafından tanıtıldı. Bu modern kategoriler, mevcut bağlamda daha iyi adlandırılan Aristoteles'in kategorilerinden ayırt edilmelidir. Bir kategoride sadece nesneler değil, aynı zamanda aralarında oklar (morfizm, dönüşüm veya eşleme olarak da bilinir) bulunur.
Birçok kategori, bu yapıyı koruyan bazı yapı ve oklarla donatılmış nesne kümelerine sahiptir. Böylece, kümeler (boş yapıya sahip) ve eşlemeler, grup ve grup homomorfizmaları, halka ve halka homomorfizmaları, vektör uzayları ve lineer dönüşümler, topolojik uzaylar ve sürekli eşlemeler vb. Kategorileri vardır. Hatta daha soyut bir düzeyde, nesneler ve oklar arasındaki ilişkileri koruyan kategoriler arasındaki morfizmler çağrıldığından, (küçük) kategoriler ve işlevler kategorisi bile vardır.
Tüm kategoriler bu somut şekilde görüntülenemez. Örneğin, tümdengelim sisteminin formülleri, f: A → B okları A'nın B'den çıkması olan bir kategorinin nesneleri olarak görülebilir. Aslında, bu bakış açısı, formüllerin düşünüldüğü teorik bilgisayar biliminde önemlidir. operasyonlar olarak türler ve kesintiler.
Daha resmi olarak, bir kategori (1) A, B, C, nesnelerinden oluşan bir koleksiyondan oluşur…, (2) koleksiyondaki sıralı her bir nesne çifti için I A ∶ A → A kimliği dahil ilişkili bir dönüşüm koleksiyonu ve (3) kategorideki sıralı her bir nesne için ilişkili bir bileşim yasası; f ∶ A → B ve g ∶ B → C bileşimi gf (veya g ○ f), A'dan C'ye, yani gf ∶ A → C'ye bir dönüşümdür. Ek olarak, ilişkilendirici yasa ve kimliklerin (burada bileşimler) -yani, h (gf) = (hg) f ve 1 tanımlandığı gibidir B = f1 f = m A.
Bir anlamda, soyut bir kategorideki nesnelerin, Leibniz monadları gibi pencereleri yoktur. Bir nesnenin iç kısmını çıkarmak için, kişinin sadece diğer nesnelerden A'ya tüm oklara bakması gerekir. Örneğin, kümeler kategorisinde, bir A kümesinin elemanları, A'ya yerleştirilmiş tipik bir tek öğeden oklarla temsil edilebilir. Benzer şekilde, küçük kategoriler kategorisinde, eğer 1 tek bir nesne içeren ve belirsizlik okları olmayan bir kategori ise, A kategorisindeki nesneler 1 → A işlevleriyle tanımlanabilir. Ayrıca, 2, iki nesne ve bir belirsizlik oku olan kategoriyse, A'nın okları 2 → A işlevleri ile tanımlanabilir.
İzomorfik yapılar
F ∶ A → B okuna g ∶ B → A tersi f varsa, yani g ○ f = 1 A ve f ○ g = 1 B olacak şekilde izomorfizm denir. Buna A ≅ B yazılır ve A ve B'ye izomorfik denir, yani esasen aynı yapıya sahiptirler ve aralarında ayrım yapmaya gerek yoktur. Matematiksel varlıklar kategorilerdeki nesneler olduğu sürece, sadece izomorfizme kadar verilirler. Geleneksel küme teorik yapıları, tutarlılık göstermede yararlı bir amaca hizmet etmenin yanı sıra, gerçekten önemsizdir.
Örneğin, tamsayı halkalarının olağan yapısında, bir tamsayı, doğal sayıların eşdeğer sınıfı (m, n) olarak tanımlanır; burada (m, n), (m ′, n ′) 'ye eşitse ve sadece m + n ′ = m ′ + n ise. Fikir, (m, n) 'nin denklik sınıfının m - n olarak görülmesidir. Bununla birlikte, bir kategorist için önemli olan, tamsayıların halkasının rings, halkalar ve homomorfizmalar kategorisinde başlangıçtaki bir nesne olmasıdır - yani, her halka için ℝ benzersiz bir homomorfizma ℤ → ℝ vardır. Bu şekilde görüldüğü gibi, only sadece izomorfizme kadar verilir. Aynı ruhla, ℤ rasyonel sayıların alanında ℚ bulunduğunu değil, sadece ℤ → ℚ homomorfizminin bire bir olduğu söylenmelidir. Benzer şekilde, her ikisi de kümeler kümesi (ad infinitum) olarak ifade edilirse, π ve root-1'in kare kökünün set-teorik kesişiminden bahsetmek hiç mantıklı değildir.
Vakıflara ve başka yerlere özel ilgi çeken bitişik işlevler (F, G). Bunlar, iki kategori ? ve ℬ arasındaki çiftler olup, zıt yönlere giderler, böylece in'daki F (A) → B kümesi ve A → G (B okları kümesi arasında bire bir yazışma bulunur.) ? — yani, kümeler izomorfik olacak şekilde.
