Riemann hipotezi matematiği

Riemann hipotezi, sayı teorisinde, Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın asal sayı teoremine bağlı olan ve asal sayıların dağılımı üzerinde önemli etkileri olan Riemann zeta fonksiyonuna çözümlerin yeri ile ilgili hipotezi. Riemann, Monatsberichte der Berliner Akademie'nin Kasım 1859 sayısında yayınlanan “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“Belirli Bir Miktardan Az Asal Sayıların Sayısı Hakkında”) adlı bir makaleye (“Aylık İnceleme”) Berlin Akademisi ”).

Zeta fonksiyonu sonsuz seriler Ç olarak tanımlanır (s) = 1 + 2 ^-s + 3 ^-s + 4 ^-s + ⋯ veya daha kompakt bir gösterimde, burada n terimlerinin toplamı (Σ), pozitif tamsayılar ve s'den 1'den sonsuza geçer ve 1'den büyük sabit bir pozitif tamsayıdır. zeta işlevi ilk olarak 18. yüzyılda İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından incelenmiştir. (Bu nedenle, bazen Euler zeta işlevi olarak adlandırılır. Ζ (1) için bu seri, antik çağın sınırsız arttığı için bilinen harmonik seridir - yani toplamı sonsuzdur.) Euler, 1735 yılında kanıtladığı ζ (2) = π ² /6 olması İsviçre Bernoulli ailesi (Jakob Johann ve Daniel) gibi çağın en büyük matematikçileri, atlatmış olan bir sorun. Daha genel olarak Euler, tamsayılar için zeta fonksiyonunun değeri ile x / (e ^x - 1) Taylor serisi genişlemesindeki katsayılar olan Bernoulli sayıları arasında bir ilişki keşfetti (1739). (Üstel fonksiyona da bakınız.) Daha şaşırtıcı olan, 1737'de Euler, zeta fonksiyonuyla ilgili, pozitif tamsayıları içeren sonsuz bir terim dizisi ve her asal sayıyı içeren sonsuz bir ürün toplamayı içeren bir formül keşfetti:

Riemann, zeta fonksiyonunun çalışmasını, karmaşık düzlemdeki x = 1 çizgisi hariç, i = 1'in root 1'in kare kökü olan x + iy karmaşık sayılarını içerecek şekilde genişletti. Riemann, zeta fonksiyonunun tüm negatif çift tamsayılar için sıfıra eşit olduğunu biliyordu −2, −4, −6,

(önemsiz sıfırlar olarak adlandırılır) ve kritik sayı dizilerinde kesinlikle x = 0 ve x = 1 arasında kalan sonsuz sayıda sıfır bulunduğunu da biliyordu. Ayrıca, önemsiz olmayan tüm sıfırların şuna göre simetrik olduğunu da biliyordu. kritik satır x = ¹ / ₂. Riemann, önemsiz olmayan sıfırların hepsinin kritik çizgide olduğunu, daha sonra Riemann hipotezi olarak bilinen bir varsayım olduğunu tahmin etti.

1914 yılında İngilizce Godfrey Harold Hardy Ç çözeltileri (ler) in sonsuz sayıda kritik hattı x = 0 Var = kanıtladı Mathematician ¹ / ₂. Daha sonra, çeşitli matematikçiler tarafından, çözümlerin büyük bir kısmının kritik çizgide yatması gerektiği gösterilmiştir, ancak tüm önemsiz çözümlerin üzerinde bulunduğu sık sık “kanıtlar” kusurludur. Bilgisayarlar aynı zamanda çözümleri test etmek için kullanılmıştır ve ilk 10 trilyon önemsiz çözümün kritik çizgide olduğu gösterilmiştir.

Riemann hipotezinin bir kanıtının sayı teorisi ve primerlerin kriptografide kullanımı için geniş kapsamlı sonuçları olacaktır.

Riemann hipotezi uzun zamandır matematikteki en büyük çözülmemiş problem olarak kabul edilmektedir. 8 Ağustos 1900'de Paris'teki İkinci Uluslararası Matematik Kongresi'nde Alman matematikçi David Hilbert tarafından 20. yüzyıl matematikçileri için bir meydan okuma olarak sunulan 10 çözülmemiş matematiksel problemden (basılı adresde 23) biriydi. 2000'de Amerikalı matematikçi Stephen Smale, Hilbert'in fikrini 21. yüzyıl için önemli sorunların bir listesiyle güncelledi; Riemann hipotezi bir numaraydı. 2000 yılında özel bir ödül için Cambridge Clay Mathematics Institute, Mass. Tarafından seçilen yedi matematik probleminden biri olan Milenyum Sorunu olarak belirlenmiştir. Her Milenyum Sorununun çözümü 1 milyon dolar değerinde. 2008 yılında ABD Savunma İleri Araştırma Projeleri Ajansı (DARPA), DARPA Matematiksel Zorluklarından biri olarak listeledi; bu fon, finansman için araştırma önerileri talep ettiği 23 matematik problemi - “Matematiksel Zorluklar Ondokuz: Riemann Hipotezini Çöz. Sayı teorisinin Kutsal Kâsesi. ”