Öklid Geometrisi
Öklid geometrisini düşünürsek, katı cisimlerin konumlarını düzenleyen yasalara atıfta bulunduğunu açıkça görüyoruz. Vücudlarla ilgili tüm ilişkileri ve onların göreli konumlarını izlemenin ustaca düşüncesini çok basit “mesafe” kavramına (Strecke) açıklar. Mesafe, üzerinde iki malzeme noktasının (işaret) belirtildiği rijit bir gövdeyi belirtir. Mesafelerin (ve açıların) eşitliği kavramı, tesadüfleri içeren deneyleri ifade eder; aynı açıklamalar uyum teoremleri için de geçerlidir. Şimdi, Öklid geometrisi, bize Öklid'den teslim edildiği formda, deneyimlere karşılık gelmediği veya herhangi bir oranda, doğrudan doğruya değil gibi görünen temel kavramları “düz çizgi” ve “düzlem” kullanır. katı cisimlerin pozisyonu ile ilgili. Bu konuda, düz çizgi kavramının mesafeye indirgenebileceği belirtilmelidir.1 Dahası, geometricians az başlangıçta alıma birkaç aksiyomlarından mantıksal geometrik önermeleri deducing ile daha deneyimine onların temel kavramların ilişkisini ortaya çıkarmak ilgilenmiştir.
Öklid geometrisinin temelinin uzaklık kavramından nasıl kazanılabileceğini kısaca anlatalım.
Mesafelerin eşitliğinden başlıyoruz (mesafelerin eşitliğinin aksiyomu). İki eşit olmayan mesafeden birinin her zaman diğerinden daha büyük olduğunu varsayalım. Aynı aksiyomlar, sayıların eşitsizliği için olduğu gibi mesafelerin eşitsizliği için de geçerlidir.
Üç mesafeler AB 1, BC 1, CA 1 CA ise, olabilir 1 uygun seçilmelidir BB onların işaretleri var 1, CC 1, AA 1 şekilde bir üçgen ABC sonuçları birbirlerine üst üste gelmektedir. CA 1 mesafesi, bu yapının hala mümkün olduğu bir üst limite sahiptir. A, (BB ') ve C noktaları daha sonra bir "düz çizgi" (tanım) içinde yer alır. Bu kavramlara yol açar: kendisine eşit bir miktarda mesafe üretmek; mesafenin eşit parçalara bölünmesi; bir ölçme çubuğu vasıtasıyla bir mesafenin bir sayı olarak ifade edilmesi (iki nokta arasındaki boşluk aralığının tanımı).
İki nokta arasındaki aralık kavramı veya bir mesafe uzunluğu bu şekilde elde edildiğinde, analitik olarak Öklid geometrisine ulaşmak için sadece aşağıdaki aksiyomu (Pisagor teoremi) gerektirir.
Her alan noktasına (referans gövdesi) x, y, z olmak üzere üç sayı (koordinat) atayabilir ve tersine, her bir A noktası çifti için (x 1, y 1, z 1) atanabilir. ve B (x 2, y 2, z 2) teoremi sahiptir:
ölçü numarası AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Öklid geometrisinin diğer tüm kavramları ve önermeleri bu temelde, özellikle de düz çizgi ve düzlem hakkındaki önermeleri tamamen mantıksal olarak oluşturabilir.
Bu açıklamalar elbette Öklid geometrisinin kesinlikle aksiyomatik yapısının yerini almayı amaçlamaz. Sadece tüm geometri kavramlarının mesafeye kadar nasıl izlenebileceğini makul bir şekilde belirtmek istiyoruz. Yukarıdaki son teoremde Öklid geometrisinin temelini eşit derecede iyi bir şekilde özetleyebiliriz. Deneyimin temellerine ilişkin ilişki, daha sonra, tamamlayıcı bir teorem vasıtasıyla sağlanacaktır.
Koordinat, Pisagor teoremi yardımıyla hesaplandığı gibi eşit aralıklarla ayrılan iki çift nokta, bir ve aynı uygun şekilde seçilen mesafeyle (bir katı üzerinde) çakışacak şekilde seçilebilir ve seçilmelidir.
Öklid geometrisinin kavramları ve önermeleri, rijit cisimlerin ortaya çıkması olmadan Pisagor'un önerisinden türetilebilir; ancak bu kavramlar ve önermeler test edilebilecek içeriklere sahip olmazdı. Bunlar “doğru” önermeler değil, yalnızca biçimsel içeriğin yalnızca mantıksal olarak doğru önermeleridir.
