Diferansiyel denklem

Diferansiyel denklem, bir veya daha fazla türev içeren matematiksel ifade - yani sürekli değişen miktarlardaki değişim oranlarını temsil eden terimler. Diferansiyel denklemler, bilim ve mühendislikte ve niceliksel çalışmanın diğer birçok alanında çok yaygındır, çünkü değişiklik geçiren sistemler için doğrudan gözlemlenebilen ve ölçülebilen değişim oranlarıdır. Bir diferansiyel denklemin çözümü, genel olarak, bir değişkenin bir ya da daha fazla diğerine işlevsel bağımlılığını ifade eden bir denklemdir; normalde orijinal diferansiyel denklemde bulunmayan sabit terimler içerir. Bunu söylemenin başka bir yolu, bir diferansiyel denklemin çözümünün, en azından belirli kısıtlamalar dahilinde, orijinal sistemin davranışını tahmin etmek için kullanılabilecek bir fonksiyon üretmesidir.

analizi: Newton ve diferansiyel denklemler

analizin uygulanması, çeşitli miktarlardaki değişim oranlarını mevcut değerleriyle ilişkilendiren diferansiyel denklemlerdir,

Diferansiyel denklemler birkaç geniş kategoride sınıflandırılır ve bunlar da birçok alt kategoriye ayrılır. En önemli kategoriler adi diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemlerdir. Denklemde yer alan fonksiyon sadece tek bir değişkene bağlı olduğunda, türevleri sıradan türevlerdir ve diferansiyel denklem sıradan bir diferansiyel denklem olarak sınıflandırılır. Öte yandan, işlev birkaç bağımsız değişkene bağlıysa, türevleri kısmi türevler ise, diferansiyel denklem kısmi diferansiyel denklem olarak sınıflandırılır. Sıradan diferansiyel denklemlere örnekler:

Bunlarda, y işlevi temsil eder ve t veya x bağımsız değişkendir. Burada k ve m sembolleri belirli sabitleri göstermek için kullanılır.

Tür ne olursa olsun, bir ninci mertebeden bir türev içeriyorsa, ancak bundan daha yüksek bir mertebeden türev içermiyorsa, diferansiyel denklemin nnci sırada olduğu söylenir. Denklem, ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemin bir örneğidir. Adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin teorileri oldukça farklıdır ve bu nedenle iki kategori ayrı ayrı ele alınmaktadır.

Tek bir diferansiyel denklem yerine, çalışma amacı bu denklemlerin eşzamanlı bir sistemi olabilir. Dinamik yasaların formülasyonu sıklıkla bu tür sistemlere yol açar. Birçok durumda, n. Mertebeden tek bir diferansiyel denklem avantajlı olarak, her biri birinci mertebeden olan n eşzamanlı denklem sistemi ile değiştirilebilir, böylece lineer cebirden teknikler uygulanabilir.

Örneğin, fonksiyonun ve bağımsız değişkenin y ve x ile gösterildiği sıradan bir diferansiyel denklem aslında x'in bir fonksiyonu olarak y'nin temel özelliklerinin örtülü bir özetidir. Bu özellikler, y için açık bir formül üretilebiliyorsa, muhtemelen analiz için daha erişilebilir olacaktır. Diferansiyel denklemden çıkarılabilen böyle bir formüle veya en azından x ve y'deki bir denkleme (türev içermeyen), diferansiyel denklemin bir çözümü olarak adlandırılır. Cebir ve matematik uygulamaları ile denklemden bir çözüm çıkarma işlemine denklemi çözme veya entegre etme denir. Bununla birlikte, açıkça çözülebilen diferansiyel denklemlerin ancak küçük bir azınlığın not edilmesi gerekir. Bu nedenle, çoğu fonksiyon dolaylı yöntemlerle incelenmelidir. Muayene için üretim imkanı olmadığında varlığı bile kanıtlanmalıdır. Uygulamada, yararlı yaklaşık çözümler elde etmek için bilgisayarları içeren sayısal analiz yöntemleri kullanılır.