Biçimsel mantık

Anlamsal tablolar

1980'lerden bu yana, PC veya LPC'deki argümanların geçerliliğini belirlemek için başka bir teknik, hem öğrenme kolaylığı hem de bilgisayar programları tarafından doğrudan uygulanması nedeniyle bazı popülerlik kazanmıştır. Başlangıçta Hollandalı mantıkçı Evert W. Beth tarafından önerildi, Amerikalı matematikçi ve mantıkçı Raymond M. Smullyan tarafından daha tamamen geliştirildi ve yayınlandı. Sonuç yanlışken geçerli bir argümanın tesislerinin doğru olmasının imkansız olduğu gözlemine dayanarak, bu yöntem, binaları, hepsi aynı anda tatmin olacak ve sonuç da tatmin edici. Böyle bir çabanın başarısı, argümanın geçersiz olduğunu gösterirken, böyle bir yorum bulunamaması, geçerli olduğunu gösterecektir.

Semantik bir tablonun inşası aşağıdaki gibidir: PC'de bir argümanın sonucunun sadece önermeyi (neg) ve kopukluğu (∨) kullanarak önermeler olarak ifade edin. İki olumsuzlama işaretinin her bir oluşumunu sırayla ortadan kaldırın (örneğin, ∼∼∼∼∼a ∼a olur). Şimdi aşağı doğru dallanan bir ağaç diyagramı oluşturun, böylece her bir ayrılma iki dalla değiştirilir, biri sol ayırma ve diğeri sağa. Her iki daldan biri doğruysa orijinal ayrılma doğrudur. De Morgan yasalarına atıfta bulunmak, her iki ayrıklığın da olumsuz olmasının doğru olması durumunda bir kopukluğun reddedilmesinin doğru olduğunu göstermektedir [yani, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Bu semantik gözlem, bir kopukluğun reddinin, her bir kopukluğun reddini içeren bir dal haline gelmesi kuralına yol açar:

Aşağıdaki argümanı düşünün:

Yazmak:

Şimdi ayrılıktan kurtulun ve iki dal oluşturun:

Sadece en az bir daldaki tüm cümleler doğruysa, orijinal binaların doğru ve sonuç yanlış olması mümkündür (aynı şekilde sonucun reddedilmesi için). Her daldaki çizgiyi ağacın tepesine kadar takip ederek, sol dalda bir değerlemesinin o daldaki tüm cümlelerin true değerini almasına neden olmayacağını gözlemler (a ve ∼a varlığı nedeniyle). Benzer şekilde, sağ dalda b ve ∼b'nin varlığı, bir değerlemenin, dalın doğru değerini alan tüm cümleleriyle sonuçlanmasını imkansız hale getirir. Bunlar olası dallar; dolayısıyla, tesislerin doğru ve sonucun yanlış olduğu bir durum bulmak imkansızdır. Orijinal argüman bu nedenle geçerlidir.

Bu teknik diğer bağlaçlarla başa çıkmak için genişletilebilir:

Ayrıca, LPC'de, nicelenmiş rüzgarların somutlaştırılması için kurallar getirilmelidir. Açıkça, hem (∀x) ϕx hem de ∼ϕy içeren herhangi bir dal, o daldaki tüm cümlelerin eşzamanlı olarak karşılanamayacağı bir daldır (ω-tutarlılık varsayımı altında; metalojik görün). Yine, tüm şubeler aynı anda tatmin edilemezse, orijinal argüman geçerlidir.

Özel LPC sistemleri

Yukarıda açıklandığı gibi LPC, wffs aralığını çeşitli yollarla sınırlandırarak veya genişleterek değiştirilebilir:

• 1. LPC kısmi sistemleri. Kısıtlama ile üretilen daha önemli sistemlerin bazıları burada özetlenmiştir:

  • Her bir yüklem değişkeninin monadik olması ve yine de sonsuz sayıda bireysel ve yüklem değişkenine izin verilmesi gerekebilir. Atomik rüzgarlar daha sonra basitçe bir yüklem değişkeni ve ardından tek bir bağımsız değişkenden oluşanlardır. Aksi takdirde, oluşum kuralları daha önce olduğu gibi kalır ve geçerlilik tanımı da daha önce olduğu gibi açıktır. Bu sistem monadik LPC olarak bilinir; özelliklerin bir mantığını sağlar, fakat ilişkilerin değil. Bu sistemin önemli bir özelliği, karar verilebilir olmasıdır. (Bununla birlikte, tek bir ikili yüklem değişkeninin bile getirilmesi, sistemi kararsız hale getirir ve aslında, sadece tek bir ikili yüklem değişkenini içeren ve hatta başka hiçbir yüklem değişkeninin bulunmadığı sistemin bile kararsız olduğu gösterilmiştir.)

  • b Daha basit bir sistem, (1) her yüklem değişkeninin monadik olması, (2) sadece tek bir bağımsız değişkenin (örneğin, x) kullanılması, (3) bu değişkenin her oluşumunun bağlanması ve (4) başka herhangi bir kapsam dahilinde herhangi bir nicelleştiricinin oluşmaması. Bu sistemin wff örnekleri şunlardır: (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“What her ikisi de ψ ve χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“ϕ olan ama ψ olmayan bir şey var”); ve (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“ϕ her ne ise ψ ψ ise, o zaman hem ϕ hem de ψ”). Bu sistemdeki gösterim, x'i her yerde atlayarak ve “Bir şey ϕ”, ∀ (ϕ ⊃ ψ) için “ϕ ne olursa olsun ψ”, vb. İçin writing yazarak basitleştirilebilir. Bu sistem monadik LPC'den (bir parçası olduğu) bile daha temel olsa da, çok çeşitli çıkarımların formları içinde temsil edilebilir. Aynı zamanda karar verilebilir bir sistemdir ve bunun için temel türde bir karar prosedürü verilebilir.

• 2. LPC uzatmaları. Daha geniş bir öneri aralığının ifade edilebileceği daha ayrıntılı sistemler, LPC'ye çeşitli türlerde yeni semboller eklenerek inşa edilmiştir. Bu tür ilavelerden en basit olanı:

  • Bir veya daha fazla bireysel sabit (örneğin, a, b,

    ): bu sabitler belirli kişilerin isimleri olarak yorumlanır; biçimsel olarak nicelleştiriciler içinde meydana gelememeleri gerçeğinden bağımsız değişkenlerden ayırt edilirler; örneğin, (∀x) bir niceleyicidir, ancak (∀a) değildir.

  • b. Bir veya daha fazla yüklem sabiti (örneğin, A, B,

    ), belirli niteliklerin veya ilişkilerin belirlenmesi olarak düşünülen belirli derecelerin her biri.

Biraz daha dolgun bir açıklama gerektiren bir başka olası ekleme, işlevlerin yerine geçmesi için tasarlanmış sembollerden oluşur. Bir fonksiyon nosyonu mevcut amaçlar için aşağıdaki gibi yeterince açıklanabilir. Tüm argümanlar belirtildiğinde benzersiz bir nesne (işlevin değeri olarak adlandırılır) belirleyen bir kural olduğunda, n argümanının (veya n derecesinin) belirli bir işlevi olduğu söylenir. İnsanlık alanında, örneğin, “- anası” monadik bir işlevdir (bir argümanın işlevi), çünkü her insan için annesi olan eşsiz bir birey vardır; ve doğal sayılar alanında (yani, 0, 1, 2,

), “- ve - toplamı” iki argümanın bir işlevidir, çünkü herhangi bir doğal sayı çifti için toplamları olan doğal bir sayı vardır. Bir fonksiyon sembolü, diğer isimlerden (argümanları) bir isim oluşturmak olarak düşünülebilir; bu nedenle, x ve y ne zaman numaralar adlandırsa, “x ve y toplamı” da bir sayı adlandırır ve benzer şekilde diğer işlevler ve argümanlar için.

İşlevlerin LPC'de ifade edilmesini sağlamak için eklenebilir:

• Bir veya daha fazla fonksiyon değişkeni (örneğin, f, g,

  ) veya bir veya daha fazla işlev sabiti (örneğin, F, G,

  ) veya her ikisini birden belirtir. Birincisi, belirtilen derecelerin işlevleri arasında değişen, ikincisi de o derecenin belirli işlevlerini tanımlayan olarak yorumlanır.

A-c'nin herhangi biri veya tümü LPC'ye eklendiğinde, yeni yüklem sembolünün eklenebilmesi için alt yüklem hesabı üzerindeki bölümün ilk paragrafında listelenen oluşum kurallarının (yukarıya bakınız alt yüklem hesabı) değiştirilmesi gerekir. wffs. Bu şu şekilde yapılabilir: Bir terim ilk olarak (1) münferit bir değişken veya (2) münferit bir sabit veya (3) bir işlev değişkeni veya işlev sabiti derecesi n'nin herhangi bir n terimi (bu terimler - işlev sembolünün argümanları - genellikle virgülle ayrılır ve parantez içine alınır). Oluşum kuralı 1'in yerine:

• Bir n değişkenini veya n derece derecesini ve ardından n terimini içeren bir sabitten oluşan bir ifade bir wff'dir.

LPC'nin aksiyomatizasyonu (yukarıda LPC'nin Aksiyomatizasyonu) bölümünde verilen aksiyomatik temel de aşağıdaki modifikasyonu gerektirir: aksiyom şeması 2'de, herhangi bir terimin, terimi bound ile sınırlanır. Aşağıdaki örnekler, LPC'ye yukarıda belirtilen eklemelerin kullanımını gösterecektir: bağımsız değişkenlerin değerleri doğal sayılar olsun; a ve b bağımsız sabitlerinin sırasıyla 2 ve 3 sayılarını temsil etmesine izin verin; Bir ortalama “asal” olsun; ve F'nin "toplamı" ikili işlevini temsil etmesine izin verin. Sonra AF (a, b) “2 ve 3'ün toplamı asaldır” ve (∃x) AF (x, a) “2 ve 3'ün toplamı asal olacak şekilde bir sayı vardır..”

Sabitlerin tanıtılmasına normal olarak, bu sabitleri içeren özel aksiyomların aksiyomatik temeline, temsil ettikleri nesneleri, özellikleri, ilişkileri veya işlevleri temsil eden prensipleri ifade etmek üzere tasarlanmış olan eşyalar eklenir., ilişkiler veya genel olarak işlevler. Örneğin, A sabitinin "daha büyüktür" ikili ilişkisini temsil etmek için kullanılmasına karar verilebilir (böylece Axy, "x, y'den büyüktür" anlamına gelir). Bu ilişki, diğerlerinin aksine, geçişlidir; yani, bir nesne bir saniyeden büyükse ve o saniye de üçte birinden büyükse, birinci nesne üçüncünden büyüktür. Bu nedenle, aşağıdaki özel aksiyom şeması eklenebilir: eğer t ₁, t ₂ ve t ₃ herhangi bir terim ise, o zaman (₁ t _2'de · ₂ t _3'te) t ₁ t _3'te bir aksiyomdur. Bu yollarla çeşitli özel disiplinlerin mantıksal yapılarını ifade etmek için sistemler inşa edilebilir. Bu tür çalışmaların çoğunun yapıldığı alan doğal sayı aritmetiğidir.

PC ve LPC bazen tek bir sistemde birleştirilir. Bu, en basit şekilde LPC ilkelleri listesine öneri değişkenleri ekleyerek, tek başına duran bir öneri değişkeninin bir wff olması için bir oluşum kuralı ekleyerek ve aksiyom şemasında 1 “LPC” silerek yapılabilir. Bu, wffs gibi ifadeler olarak ortaya çıkar. (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx ve (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy] gibi.

• 3.LPC-ile-kimlik. “İs” kelimesi her zaman aynı şekilde kullanılmaz. (1) gibi bir öneride, “Sokrates kalkıktır”, “is” den önceki ifade bir bireyi adlandırır ve onu takip eden ifade, o bireye atfedilen bir özelliği temsil eder. Ancak, (2) “Sokrates, baldıran içen Atina filozofudur” gibi bir öneride, “is” her iki isim bireyden önce ve sonra gelen ifadeler ve tüm önermenin anlamı, ilk olarak adlandırılan bireyin ikinci olarak adlandırılan kişi ile aynı kişi. Böylece, 2'de “is” “ile aynı bireydir” e genişletilebilir, oysa 1'de olamaz. 2'de kullanıldığı gibi, “is”, teklifin iki kişi arasında tutmayı ileri sürdüğü ikili bir ilişki, yani kimlik anlamına gelir. Bir kimlik önerisi bu bağlamda bundan daha fazlasını göstermediği anlaşılmalıdır; özellikle, iki adlandırma ifadesinin aynı anlama sahip olduğu iddiasında bulunulmamalıdır. Bu son noktayı açıklamak için çok tartışılan bir örnek “Sabah yıldızı akşam yıldızıdır”. “Sabah yıldızı” ve “akşam yıldızı” ifadelerinin aynı anlama geldiği yanlıştır, ancak birincisi tarafından atıfta bulunulan nesnenin ikincisi (Venüs gezegeni) ile aynı olduğu doğrudur.

Kimlik önermelerinin biçimlerinin ifade edilebilmesini sağlamak için, LPC'ye en genel gösterim = (daha önce değil, argümanları arasında yazılmış) olan bir ikili yüklem sabiti eklenir. X = y'nin amaçlanan yorumu, x'in y ile aynı kişi olması ve en uygun okuma “x, y ile özdeştir” dir. Negatifliği ∼ (x = y) genellikle x ≠ y olarak kısaltılır. Daha önce verilen bir LPC modelinin tanımına (yukarıdaki LPC'de Geçerlilik konusuna bakın) şimdi, eğer aynı üye ise x = y değerinin 1 olması kuralını eklenmiştir (amaçlanan yorum ile bariz bir şekilde anlaşılmaktadır). D hem x hem de y'ye atanır ve aksi takdirde değeri 0 olur; daha sonra geçerlilik önceki gibi tanımlanabilir. Aşağıdaki eklemeler (veya bazı eşdeğerler) LPC'nin aksiyomatik temeline göre yapılır: aksiyom x = x ve aksiyom şeması, burada a ve b herhangi bir bağımsız değişken ve α ve β, yalnızca a'nın a'nın serbest bir oluşumunun olduğu bir veya daha fazla yer, β'nın b'nin serbest bir oluşumu vardır, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) bir aksiyomdur. Böyle bir sistem, kimliğiyle birlikte düşük yüklemli bir hesaplama olarak bilinir; elbette, yukarıda "LPC Uzantıları" nda değinilen diğer yollarla daha da arttırılabilir, bu durumda herhangi bir terim = argümanı olabilir.

Kimlik bir denklik ilişkisidir; yani, dönüşlü, simetrik ve geçişlidir. Refleksivitesi doğrudan x = x aksiyomunda ifade edilir ve simetrisini ve geçişliliğini ifade eden teoremler verilen temelden kolayca türetilebilir.

Kimliğe sahip LPC'nin bazı dalgaları, belirli bir mülke sahip olan şeylerin sayısı hakkında önermeleri ifade eder. “En azından bir şey ϕ”, elbette, (∃x) ϕx ile zaten ifade edilebilir; “En az iki farklı (nonidentical) şey ϕ” artık (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y) ile ifade edilebilir; ve sekans açık bir şekilde devam ettirilebilir. “En fazla bir şey ϕ” dir (yani, “İki ayrı şeyin ikisi de ϕ değildir”), son belirtilen rüzgarın reddedilmesi veya eşdeğeri ile ifade edilebilir, (∀x) (∀y) [(ϕx ·)y) ⊃ x = y] ve diziye tekrar kolayca devam edilebilir. “Tam olarak bir şey ϕ” formülü, “En az bir şey ϕ” ve “En fazla bir şey ϕ” formüllerini birleştirerek elde edilebilir, ancak bu kavşağa eşdeğer daha basit bir wff (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] anlamına gelir. “ϕ olan bir şey vardır ve ϕ olan her şey o şeydir.” “Tam olarak iki şey ϕ” önerisi (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; yani, “Her biri ϕ olan iki tane tesadüfi olmayan şey ve anything olan her şey bunlardan biri ya da diğeri.” Açıkça, bu dizi, her doğal sayı n için “Tam olarak n şey ϕ” için bir formül vermek üzere genişletilebilir. “Tam olarak bir şey ϕ” ila (∃! X) ϕx için wff'yi kısaltmak uygundur. Bu özel nicelleştirici sık sık “E-Shriek x” olarak okunur.

Kesin açıklamalar

Belirli bir özellik one bir ve yalnızca bir nesneye ait olduğunda, o nesneyi adlandıran bir ifadeye sahip olmak uygundur. Bu amaç için ortak bir gösterim (ιx) ϕx olup, “ϕ olan şey” veya daha kısaca “ϕ” olarak okunabilir. Genel olarak, a herhangi bir bağımsız değişken ve a'nın herhangi bir wff olduğu durumda, (ιa) α, a'nın gerçek olmasını sağlayan a'nın tek değerini temsil eder. “So-so-so” formunun ifadesine kesin bir tanım denir; ve bir tanım operatörü olarak bilinen (ιx), bir teklif formundan bir bireyin adını oluşturduğu düşünülebilir. (ιx), bir wff α önekine eklendiğinde, x cinsinden a'daki her serbest oluşumunu bağladığı için bir niceleyiciye benzer. Bağlı değişkenlerin yeniden düzenlenmesine de izin verilir; en basit durumda, (ιx) ϕx ve (ιy) eachy'nin her biri basitçe “ϕ” olarak okunabilir.

Formasyon kuralları söz konusu olduğunda, (ιa) α formunun ifadelerinin terimler olarak sayılmasına izin verilerek LPC'ye kesin açıklamalar dahil edilebilir; Yukarıdaki kural 1, “LPC Uzantıları” nda, atomik formüllerde (kimlik formülleri dahil) oluşmalarına izin verecektir. “Φ (yani, özelliği vardır) ψ” daha sonra ψ (ιx) ϕx olarak ifade edilebilir; “Y (individual ile aynı bireydir) ϕ” y = (ιx) ϕx; “Φ (ιx) ϕx = (ιy) asy olarak ψ'dir (as ile aynıdır); ve benzerleri.

Kesin açıklamalar içeren önermelerin doğru analizi, önemli felsefi tartışmalara konu olmuştur. Bununla birlikte, yaygın olarak kabul edilen bir hesap - esasen Principia Mathematica'da sunulan ve Russell'ın tanım teorisi olarak bilinen - “ϕ, ψ” ifadesinin tam olarak bir şeyin ϕ olduğu ve o şeyin de ψ olduğu anlaşılmalıdır. Bu durumda, tanım işleçleri içermeyen bir kimlikle LPC kimliğiyle ifade edilebilir - yani, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Benzer şekilde, “y the ϕ” “y ϕ ve başka hiçbir şey ϕ” olarak analiz edilmez ve dolayısıyla (2) ·y · (∀x) (ϕx ⊃ x = y) ile ifade edilebilir. “Φ ψ”, “Tam olarak bir şey ϕ, tam olarak bir şey ψ ve ϕ ne ise ever” olarak analiz edilir ve dolayısıyla (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx ve (ιx) ϕx = (ιy) ψy, sırasıyla (1), (2) ve (3) için kısaltmalar olarak kabul edilebilir; ve daha karmaşık vakalara genelleme yapılarak, açıklama operatörleri içeren tüm rüzgarlar, daha uzun rüzgarlar için kısaltmalar olarak kabul edilebilir.

“Φ is ψ” için formül olarak (1) 'e götüren analiz, “ϕ ψ değil” için aşağıdakine yol açar: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. (4) 'ün (1)' in olumsuzlaması olmadığını belirtmek önemlidir; bunun yerine bu olumsuzlama (5) ∼ (∃x) [ϕx · ((y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx] 'dir. (4) ve (5) arasındaki anlam farkı, (4) 'ün sadece ϕ olan bir şey olduğunda ve bu not olmayan, ancak (5)' in hem bu durumda hem de ayrıca hiçbir şey ϕ olmadığında ve birden fazla şey ϕ olduğunda. (4) ve (5) arasındaki ayrımın ihmal edilmesi, düşüncenin ciddi şekilde karışmasına neden olabilir; olağan konuşmada, ϕ 'nın ψ olduğunu inkâr eden birinin tam olarak bir şeyin is olduğunu kabul edip etmediğini, ψ olduğunu inkâr mı yoksa tam olarak bir şeyin ϕ olduğunu inkâr edip etmediği genellikle belirsizdir.

Russell'ın açıklama teorisinin temel tartışması, kesin bir açıklama içeren bir teklifin, bu tanımın bir isim olduğu bir nesne hakkında bir iddia olarak değil, belirli bir (oldukça karmaşık) mülkün sahip olduğu varoluşsal olarak nicelendirilmiş bir iddia olarak görülmesidir. bir örnek. Resmi olarak, bu, yukarıda özetlenen açıklama operatörlerini ortadan kaldırma kurallarına yansır.