Riemann zeta fonksiyonu, asal sayıların özelliklerini araştırmak için sayı teorisinde yararlı fonksiyon. Ζ (x) olarak yazıldığında, başlangıçta sonsuz dizi ζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯ olarak tanımlanmıştır. X = 1 olduğunda, bu seri, sınırsız artan harmonik seri olarak adlandırılır - yani toplamı sonsuzdur. 1'den büyük x değerleri için, dizi ardışık terimler eklendikçe sonlu sayıya yakınsar. X 1'den küçükse, toplam yine sonsuzdur. Zeta fonksiyonu 1737'de İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından biliniyordu, ancak ilk olarak Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından kapsamlı bir şekilde incelendi.
1859'da Riemann, önceden belirlenmiş herhangi bir sınıra kadar prim sayısı için açık bir formül veren bir makale yayınladı - asal sayı teoreminin verdiği yaklaşık değer üzerinde kararlı bir gelişme. Bununla birlikte, Riemann'ın formülü, zeta işlevinin genelleştirilmiş bir sürümünün sıfıra eşit olduğu değerleri bilmeye bağlıydı. (Riemann zeta işlevi x + iy formunun tüm karmaşık sayıları için tanımlanır; burada x = 1 satırı hariç, i = 1'in karekökü = 1) Riemann, işlevin tüm negatif çiftler için sıfıra eşit olduğunu biliyordu. −2, −4, −6 tamsayıları,
(önemsiz sıfırlar olarak adlandırılır) ve x = 0 ve x = 1 çizgileri arasındaki karmaşık sayıların kritik şeridinde sonsuz sayıda sıfır bulunduğunu ve ayrıca önemsiz olmayan tüm sıfırların kritik noktalara göre simetrik olduğunu biliyordu. satır x = 1 / 2. Riemann, önemsiz olmayan sıfırların hepsinin kritik çizgide olduğunu, daha sonra Riemann hipotezi olarak bilinen bir varsayım olduğunu tahmin etti.
1900 yılında Alman matematikçi David Hilbert, Riemann hipotezini, 20. yüzyıl matematikçilerine meydan okuduğu 23 çözülmemiş 23 probleminin etkili listesine dahil ettiği gibi, tüm matematikteki en önemli sorulardan biri olarak adlandırdı. 1915'te İngiliz matematikçi Godfrey Hardy, kritik çizgide sonsuz sayıda sıfır olduğunu kanıtladı ve 1986'da ilk 1.500.000.001 önemsiz sıfırın hepsinin kritik çizgide olduğu gösterildi. Her ne kadar hipotez yanlış olsa da, bu zor sorunun araştırılması karmaşık sayıların anlaşılmasını zenginleştirmiştir.
