Sürekli hipotez, küme teorisinin gerçek sayılar kümesinin (süreklilik) olabildiğince küçük olduğu ifadesi. 1873'te Alman matematikçi Georg Cantor sürekliliğin sayılamaz olduğunu, yani gerçek sayıların sayma sayılarından daha büyük bir sonsuz olduğunu kanıtladı - matematiksel bir konu olarak set teorisini başlatmanın önemli bir sonucu. Ayrıca Cantor, sonsuz kümelerin boyutunu öğelerinin sayısına veya kardinalitesine göre sınıflandırmanın bir yolunu geliştirdi. (Bkz. Küme teorisi: Kardinalite ve sonsuz sayılar.) Bu terimlerle, süreklilik hipotezi şu şekilde ifade edilebilir: Sürekliliğin temel niteliği sayılamayan en küçük kardinal sayıdır.
küme teorisi: Kardinalite ve sonsuz sayılar
süreklilik hipotezi olarak bilinen bir varsayım.
Cantor'un gösterimlerinde, süreklilik hipotezi, basit bir denklem 2 ℵ 0 = ℵ 1 ile ifade edilebilir; burada ℵ 0, sonsuz bir sayılabilir kümenin (doğal sayılar kümesi gibi) kardinal sayısıdır ve daha büyük “ iyi düzenlenebilir kümeler ”ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, sıra sayılarıyla endekslenir. Sürekli ortamın kardinalitesi 2 ℵ 0'a eşit olarak gösterilebilir; dolayısıyla, süreklilik hipotezi, doğal sayılar ve süreklilik arasında bir dizi büyüklük aralığının varlığını dışlar.
Daha güçlü bir ifade genelleştirilmiş süreklilik hipotezidir (GCH): Her sıra numarası α için 2 ℵ α = ℵ α + 1. Polonyalı matematikçi Wacław Sierpiński, GCH ile kişinin tercih edilen aksiyomu türetebileceğini kanıtladı.
Seçim aksiyomunda olduğu gibi, Avusturya doğumlu Amerikalı matematikçi Kurt Gödel 1939'da diğer standart Zermelo-Fraenkel aksiyomlarının (ZF;
tablo) tutarlıdır, o zaman süreklilik hipotezini ve hatta GCH'yi çürütmez. Yani, diğer aksiyomlara GCH eklemenin sonucu tutarlı kalır. Daha sonra 1963'te Amerikalı matematikçi Paul Cohen, yine ZF'nin tutarlı olduğu varsayılarak ZF'nin süreklilik hipotezinin bir kanıtını vermediğini göstererek resmi tamamladı.
ZF, süreklilik hipotezini ne kanıtlasın, ne de çürüttüğünden, süreklilik hipotezini, kümelerin ne olduğuna dair gayri resmi bir kavrama dayanarak kabul edip etmeme sorunu devam etmektedir. Matematik topluluğundaki genel cevap olumsuz olmuştur: süreklilik hipotezi, bir sınır koymak için bilinen bir nedenin olmadığı bir bağlamda sınırlayıcı bir ifadedir. Grubu Teorik olarak, kardinalite ℵ her set için güç grubu çalışma atar α önem düzeyi 2 olan tüm alt-gruplar kendi grubu, ℵ α. Sonsuz bir kümenin sahip olabileceği alt kümelerin çeşitliliğine bir sınır koymak için bir neden yoktur.
