Sakız Adası Hipokratları (fl. C. 460 bc), lunes olarak bilinen dairesel yaylar arasındaki ay şeklindeki alanların tam olarak doğrusal bir alan veya kareleme şeklinde ifade edilebildiğini göstermiştir. Aşağıdaki basit durumda, sağ üçgenin kenarlarında geliştirilen iki lunes, üçgeninkine eşit birleşik alana sahiptir.
-
Sağ ΔABC ile başlayarak, çapı hipotenüs olan AB (c tarafı) ile çakışan bir daire çizin. Bir hipotenüsü için dairenin çapı ile çizilen herhangi bir sağ üçgen dairenin içine yazılması gerektiğinden, C dairenin üzerinde olmalıdır.
-
Şekildeki gibi AC (yan b) ve BC (yan a) çaplı yarım daire çizin.
-
Elde edilen lunes L Etiket 1 ve L, 2 ve elde edilen segmentler S 1 S 2, şekil de gösterildiği gibi,.
-
Şimdi Lunes (L toplamı 1 ve L 2) yarım daire toplamına eşit olmalıdır (L 1 + S 1 ve L 2 S + 2) bunları eksi iki segment (S ihtiva eden 1 S 2). Böylece, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (çünkü bir daire alanı yarıçapın karesinin π katıdır).
-
Segmentlerin toplamı (S 1 ve S 2) AB eksi üçgenin alanı temelinde yarım daire alanına eşittir. Bu nedenle, S 1 S + 2 = π / 2 (C / 2) 2 ΔABC -.
-
Adım 4 ve faktoringe ortak terimler üzerinden L içine adım 5 ekspresyonu ikame 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + B 2 - c 2) + ΔABC.
-
∠ACB = 90 ° olduğundan, Pisagor teoremi ile bir 2 + b 2 - c 2 = 0. Bu sebeple, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hipokrat, bazıları yarım daire büyüklüğünden daha büyük ve daha küçük yaylar üzerinde birkaç çeşit lunes kare yapmayı başardı ve yönteminin tüm bir daireyi kareye alabileceğine inanmamış olsa da, niyet etti. Klasik çağın sonunda, Latince Öklid parçacıklarının Latince çevirileri yarım bin yıl boyunca geometri ışığını titreyecek olan Boethius (c. Ad 470-524), birisinin dairenin karesini tamamladığını belirtti. Bilinmeyen dehaların lunes veya başka bir yöntem kullandığı bilinmemektedir, çünkü yer eksikliği nedeniyle Boethius gösteriyi vermedi. Böylece dairenin dördünlüğünün zorluğunu, görünüşte yararlı olan geometri parçalarıyla birlikte aktardı. Avrupalılar Aydınlanmaya kadar şanssız bir görev üstlendiler. Son olarak, 1775'te Paris Bilimler Akademisi, kendisine sunulan birçok çözümdeki yanlışları tespit etme görevinden bıkmış, daire kareleriyle daha fazla şey yapmayı reddetti.
